Форум : Эволюция. Опасная идея Дарвина.

Принцип Фальсифицируемости 

Третий принцип научного мышления - это принцип фальсифицируемости Поппера. Принцип этот назван в честь астрийского философа и социлога Карла Поппера, который первым его сформулировал. Карл Поппер был одним из основателей школы критического рационализма. Формулировка принципа фальсифицируемости такова: “Любая научная гипотеза должна быть опровержимой”.

Объяснение принципа

Что означает принцип фальсифицируемости и для чего он нужен? Сам метод научного мышления начинается с фактов, для объяснения которых выдвигается гипотеза. Когда гипотеза развивается и обретает дополнительные подтверждения и доказательства, и ее фактическая и теоретическая база растет, то гипотеза становится теорией. Это долгий путь поиска и анализа информации. Путь, который включает в себя большие интеллектуальные, и часто, материальные, ресурсы. Уже рассмотренные нами принципы Достаточного Основания, и Бритва Оккама, активно участвуют в этом процессе.

Но бывают условия, при которых этот процесс не нужен - то, что теория ложная или незрелая, может быть понятно и без больших интеллектуальных и финансовых затрат. На помощь приходит принцип Поппера. Если теория не может назвать конкретные условия, при которых она ложна - то значит, нет и условий, при которых она истинна, и это не научная теория.

Примеры

Теория Относительности. Изначально Теория Относительности была описана в виде математической модели. Эта модель предсказывала ощутимые искажения пространства-времени небесными телами, и предполагала наличие сингулярностей - “черных дыр”. Теория Относительности также утверждала инвариантность скорости света. Теория Относительности является фальсифицируемой теорией. Если бы оказалось, что скорость света может меняться, или что массивные небесные тела не искажают поток света, то теория оказалась бы ложной. Но современные сверхточные эксперименты подтвердили предсказания Теории Относительности, и в космосе были обнаружены “черные дыры”. Тот факт, что у Теории Относительности есть конкретные проверяемые критерии, без которых она не могла бы быть истииной, говорит о том, что эта теория - научная.

Теория Эволюции. Теория Эволюции Видов Дарвина изначально опиралась на многолетнюю базу исследований, классификации видов географически и хронологически. В современной Теории Эволюции видов, эта база была существенно расширена такими науками как генетика. Если бы оказалось, что переходных видов между звеньями совсем нет, и нет их ископаемых останков, или если бы оказалось, что среди древних останков обнаруживались бы современные формы жизни, или если бы анализ ДНК показал, что виды не являются генетическими родственниками, то Теория Эволюции была бы опровергнута. Наличие конкретных критериев опровержимости говорит о том, что Теория Эволюции - научная теория.

Креационизм. А вот пример ненаучной теории - учение Креационизма. Согласно этому взгляду, все виды были созданы потусторонним существом, богом. При каких условиях можно будет доказать, что этот взгляд ложен? Какие есть критерии, при которых можно сказать, что жизнь не создавалась высшим существом? Таких критериев нет. Этот взгляд не доказуем и не опровержим. Иногда верующие жумают, что это хорошо - ведь никто не сможет опровергнуть их домыслы. Но на самом деле, именно нефальсифицируемость говорит о ненаучности их верований. Именно по этой причине уже более полувека сторонники Креационизма проигрывают судебные процессы, требующие признать их взгляд “научной теорией”. Когда ученые свидетельствуют в судах против Креационизма, его нефальсифицируемость служит одним из важных аругментов признания этой псевдонауки - ненаучной, и не подлежащей преподаванию в школах.

Ну, во-первых, в мильонный раз повторяю, что Дарвин сам считал, что ЭВОЛЮЦИЯ СОЗДАНА БОГОМ. Дарвин верил в бога.Бог ведь тоже творил по какой-то своей системе, или программе. а не хаотически.———–

————————————-

К предыдущим постам:

“такие сказки действительно проще объявить “доказательством” того, что “сознание может выходить из тела”. ведь чтобы так сказать, не нужно ни особых знаний, ни богатой фантазии. это гораздо проще, чем узнавать действительное положение дел.”

Странно однако вы относитесь к показаниям очевидцев, в суде свидетельства людей принимаются в расчет, а наука ими пренебрегает…. как же тогда узнать действительное положение дел если игнорировать факты или объявлять их не состоятельными ?

———————–

В мильонный раз спрашиваю, но опять не отвечают:

Если факты должны подтверждаться только измерениями и приборами, а не одними показаниями очевидцев, то сны, которые ещё ни разу никем не были инструментально зафиксированы, но имеются только рассказы очевидцев и всё  (поправьте. если это не так)- это массовая выдумка людей? Значит, снов в природе не существует? Все картины, которые мы вспоминаем. проснувшись - наша выдумка. фантазия, на самом деле никто ничего такого не видел, а зачем-то от скуки придумывает?

———————————

Опять в мильонный раз повторяю:

А если диагноз врача основывается на опросе пациента, всё это в учебниках записано: жалобы на то, на сё, но проверить это невозможно чаще всего, так значит. надо игнорировать эти жалобы, не разрабатывать и не применять способы лечения этих нарушений. так всё, что говорит пациент - неправда. если он не может этого доказать, если это невозможно измерить?  Но медицина - это наука. И врачу разрешается не только факты использовать в лечении. но и жалобы, рассказ пациента о своём самочувствии, а это будет простым голословным утверждением. 

Важность принципа в борьбе с религией

Если Бритва Оккама и Закон Достаточного Основания отметают религиозные сущности и мифы уже в ходе взвешивания фактов и их оценки, то критерий Поппера даже не допускает религиозной мифологии к рассмотрению. Утверждение сверхъественного - это изначально и принципально нефальсифицируемое утверждение. Оно неопровержимо и недоказуемо в принципе, и потому не может рассматриваться серьезно.

Во всех областях, касающихся фактов и реальности, всегда есть факты и условия, при которых то или иное предположение будет истинно или ложно. То, что религия покоится на изначально нефальсифицируемом принципе - означает, что это спекуляция, которая совершенно оторвана от фактов и от реальности, и потому не может быть ни подкреплена, ни опроврегнута ими. Религия и реальность почти не пересекаются. Я говорю “почти” потому, что сознание верующего человека - это единственная точка пересечения мифа и реальности. Поэтому, религия и религиозная вера могут быть предметом научного изучения, но не могут сами предлагать научных гипотез.

Рассмотрение религиозных утверждений в отрыве от мировоззрения

Иногда, религия делает локальные утверждения, или приводит локальные факты, которые, по мнению верующих людей, могут подтвердить существование бога. Например, кто-то спекулирует на “принципе антропности” вселенной. Кто-то спекулирует, что началом вселенной 13.5 миллиардов лет назад был бог. Как реагировать на такие утверждения?

Эти утверждения вырваны из контекста. Более широкий контекст состоит в том, что прежде чем спекулировать о том, что было до Большого Взрыва (если он был), или почему мы живем во вселенной, которая способна поддерживать жизнь (как будто мы могли бы задаваться этим вопросом, если бы это было не так), нужно сперва рассмотреть по сути доказательства бытия бога или богов. Так как этих доказательств нет, и это утверждение не фальсифицируемо и ненаучно по сути, то и сама такая постановка вопроса, в которой предпологалось бы, что бог дал толчок началу Вселенной, или что он создал условия для жизни - бессмысленны. Такие разговоры по сути - прыжок через принципы и через факты, допущения, которые делают все последующую дискуссию ненаучной и несерьезной.

Характерной чертой желтой прессы и сторонников теорий заговоров является то, что они делают необоснованное предположение, и, не доказав его, начинают на него опираться. “Не американская ли администрация взорвала небоскоребы 11 сентября? А если американская администрация сделала это, то…” - и идет спекуляция. То же самое касается и религии. “Не бог ли создал этот мир?” - и дальше идет обсуждение так, как будто речь идет об обоснованной факте. И любые построения, которые принимают за факт необоснованное утвреждение, будут безосновательны.

*НЕфальсифицируемой является любая наука

speculum пишет:

Deep_Thought пишет:

 любой науки найдется утверждение которое нельзя ни доказать ни опровергнуть, из этого всего следует что фальсифицируемой является на самом деле любая наука, т е согласно критерию Поппера придется забраковать вообще все научные знания а не только веру в сверхъестественное

---

Пример приведите ,что нельзя ни доказать ни опровергнуть ?

Что там с вашими лозоходцами ,их кто нибудь проверял ,находить воду в деревне задача несложная ,где не копни везде будет вода .

Вода есть отнюдь не везде, и те, кто искали без лозоходства просто копая наугад, так до воды и не докопались.

Парадокс Рассела формулируется следующим образом:

Пусть  — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом  — противоречие. Если нет — то, по определению , оно должно быть элементом  — вновь противоречие.

В качестве такого критерия можно предложить следующее объяснение парадокса Рассела: множество всех множеств (не множество Рассела, а именно множество всех множеств!), которое само по себе является множеством, не всегда можно разделить на такие части, которые также были бы множествами (то есть подмножествами множества всех множеств). Именно такая ситуация и возникает в парадоксе Рассела, в котором множество всех множеств делится на две части (классы? совокупности?) — на правильные множества и неправильные множества, — каковые (части) множествами не являются, поскольку содержат элемент, который принадлежит и не принадлежит каждой из этих частей. (Причем принадлежит он ей лишь в той мере, в какой не принадлежит другой части!) Множество Рассела — это и есть такой элемент. Множество всех множеств не может быть таким элементом, поскольку вне его не существует никаких других множеств.

Т е по сути утверждается что НЕ всякое множество может быть отнесено к одной из двух категорий «содержит само себя в качестве элемента» или «не содержит само себя в качестве элемента», а это означает что автор данного критерия предполагает существование множеств, которые одновременно и содержат и не содержат самих себя в качестве элемента, т е приходит все к тому же парадоксальному утверждению, но с другой стороны, и где тут решение парадокса? ))

Парадокс в широком смысле — это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется “безусловно правильным”. Само греческое слово, от которого произведено наше слово “парадокс”, буквально означало “необычное, странное, невероятное, замечательное”.

Парадокс в более узком и более современном значении — это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.

Парадоксы были типичными способами постановки проблем в античном мышлении. Сначала парадоксы рассматривались только как продукт философских измышлений, теперь наука признала их полноправными членами сообщества научных проблем [1]. Парадоксы возникают в современных прикладных науках также часто как и в древних. В свое время (VII в. до н.э.) вавилонские жрецы-астрологи заметили, что некоторые планеты временами замедляют движение, пятятся назад, а затем снова продолжают движение в обычном направлении. Гераклид Пантийский смог объяснить “явление блуждающих светил” с помощью математической теории эпицикла. Но при этом оставались другие проблемы — не все светила вели себя по этой схеме. Долгое время ученые с помощью своих теорий (геометрическая, механическая) не могли объяснить “дуализм света” (XVIII-XIX вв.), только предположение Д.К.Максвелла о электромагнитной природе света разрешило эту проблему. Таким образом, можно считать, что парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий [2].

Особое место занимают парадоксы в математике и логике, так как “чистая математика” — абстрактная наука, построенная на теориях которые не кажутся очевидными с первого взгляда. Здесь их статус глубоких и кардинальных проблем не подвергается сомнению. Тем более, что в математике, как ни в одной другой науке, особое внимание обращается на строгость и логическую последовательность доказательств. При этом часто возникают ситуации в которых рассуждения, применяющиеся совсем недавно и считающиеся строгими, будут требовать дополнительного обоснования. Тогда математик просто излагает свои идеи в том виде, как они у него возникают. Однако часто возникает необходимость сделать выбор между методами изложения некорректными, но, быть может, плодотворными, и корректными, но позволяющими выразить мысль лишь в измененном виде и притом ценой значительных усилий. Ни тот, ни другой путь не свободен от опасностей. Первый путь ведет к возникновению и развитию новых теории и нового уровня абстракции, а следовательно и парадоксов, второй к “затуханию науки” [1].

Многообразие парадоксов и их причина

Парадокс “Лжец”

Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс “Лжец”, сформулированный греческим философом Эвбулидом из Милета в IV веке до н.э. (На самом деле этот парадокс еще древнее; он восходит к Эпимениду, жившему в VI веке до н.э. на острове Крит.) [3]

Имеются различные варианты этого парадокса. В простейшем варианте “Лжеца” человек произносит всего одну фразу: “Я лгу”, или говорит: “Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным”. Традиционная лаконичная формулировка этого парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.

Данный парадокс можно переформулировать и так.
Допустим, что на лицевой стороне карточки стоят слова: “На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание” — и ничего более. Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы находим на ее обороте слова: “На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание” — и опять-таки ничего более. Предположим, что утверждение на лицевой стороне — истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение с лицевой стороны ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. Выходит, что данное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным. Но это противоречит принципу исключенного третьего. Парадокс ошеломляющий. Он произвел громадное впечатление на греков. Ходит даже легенда, что он привел к самоубийству некоего Филита Косского. Этот парадокс разбил Аристотель и многие другие логики, жившие позднее. Некоторые философы считали, что поскольку рассматриваемое утверждение содержит ссылку на самое себя, то оно просто не имеет смысла, а бессмысленные высказывания должны быть исключены из языка.

С развитием логики в нем стали видеть смешение двух языков: языка, на котором говорится о предметах, существующих в мире, и языка, служащего для описания самого такого “предметного” языка. В нашем обычном языке эти два уровня не различаются.

Было предложено другое объяснение, основанное на анализе одной весьма необычной особенности этого высказывания. Дело в том, что это высказывание одновременно является актом действия; причем как раз то, что в этом высказывании утверждается, в то же время становится и действием. Более того, высказывание и действие разорвать нельзя. Такие высказывания встречаются не так уж и редко. Например: “Я клянусь”, “Я говорю”, “Я лгу” (т.е.: “Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно”), “Я слушаю” и т.п. Высказывания такого рода называются “перформативными” и к ним как считают некоторые авторы, не применимы какие-либо оценки их истинности. Их истинность зависит от того, когда, кем и где они употребляются.

Выше было сказано, что парадокс “Лжец” возникает из-за смешения двух языков. Как же связан этот парадокс с ними. Еще античные философы заметили, что каждое высказывание естественного языка выражает определенную мысль, но не несет никакой информации о том, истинна ли эта мысль или нет. Более того, они показали, что именно это утверждение об истинности того или иного высказывания не может быть выражено в естественном языке. Рассуждали они следующим образом. Пусть A₀ есть некоторое высказывание, например: “1 января шел снег”, и пусть это событие действительно имело место. Но так как из содержания высказывания А₀ не следует, что оно истинно, то необходимо дополнительное высказывание A₁: “Высказывание A₀ истинно”. Нетрудно, однако, заметить, что истинность высказывания A1 тоже ниоткуда не следует. Поэтому необходимо новое высказывание А₂: “Высказывание A₁ истинно” и т.д. до бесконечности.

Получается, что понятие истинности действительно не выразимо средствами естественного языка.

Впрочем это не совсем так. На самом деле доказано только то, что выше описанным способом нельзя выразить утверждение об истинности высказывания A₀. Поэтому остается вопрос: “А нельзя ли это сделать каким-либо другим способом?” И вообще, неужели утверждение об истинности или ложности какого-либо конкретного высказывания нельзя сформулировать так, чтобы достоверность этого утверждения не вызывала сомнений?

Ответить на этот вопрос удалось только в начале XX века. К этому времени было осознано, что каждая теория описывает какую-то свою, вполне определенную предметную область и пользуется при этом только такими языковыми средствами, которые для этого необходимы. Если, например, взять арифметику, то ее предметной областью является множество натуральных чисел, а необходимым для описания этой области языком является язык, на котором можно говорить об операциях и отношениях, заданных на множестве натуральных чисел. Как же обстоит дело с “истинностью” арифметических высказываний? Общепринятое определение истинности как соответствия реальному положению дел в данном случае оказывается недостаточно ясным. Во-первых, существуют такие высказывания, непосредственная проверка истинности которых невозможна или весьма затруднительна. (Это, например, гипотеза о невозможности существования четверок Ферма.) Во-вторых, формализованные теории вообще абстрагируются от практики и выводят свои теоремы из одних только аксиом. В третьих, выяснилось, что даже после уточнения понятия “истинности”, множество истинных формул арифметики тем не менее оказывается неописуемым на предметном языке арифметики. Это значит, что понятие “истинности” не выразимо на языке арифметики. Значит, это понятие относится к другому языку!

Таким образом, можно придти к выводу, что в познании существуют два уровня — две иерархические ступени. На первом уровне строится теория, описывающая некоторую предметную область (в данном случае— арифметику). Для описания этой области используется специальный, заранее фиксированный предметный язык. На втором уровне возникает метатеория, предметом исследования которой становится ранее созданная предметная теория первого уровня. В метатеории исследуется, в частности, вопрос об “истинности” высказываний предметной теории. Для этой цели используется специальный метаязык.

Предметный язык и метаязык — это разные языки, это языки, относящиеся к различным иерархическим уровням. Игнорирование этого обстоятельства неминуемо должно привести к противоречиям. Примером может послужить описанный выше парадокс “Лжеца”. Покажем, что это действительно так.

С одной стороны, предложение “Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно” относится к метаязыку, поскольку в нем говорится о ложности некоторого высказывания.

С другой стороны, поскольку о каком-то высказывании говорится, что оно ложно, то высказывание, ложность которого утверждается, должно относиться к предметному языку. Но в данном случае высказывание утверждает ложность самого себя. Значит, само это высказывание должно относится к предметному языку. Получается, что рассматриваемое предложение относится и к метаязыку, и к предметному языку. Но это же разные языки. Игнорирование этого различия и привело к парадоксу.

Приведем еще несколько примеров, свидетельствующих о необходимости четкого разграничения предметного языка и метаязыка.

Парадокс Греллинга

Парадокс Греллинга был сформулирован в 1908 году математиками Куртом Греллингом (1886-1941) и Леонардом Нельсоном (1882-1927). В этом парадоксе речь идет о прилагательных. Каждое прилагательное либо само обладает тем свойством, которое оно выражает, либо — нет. Например, прилагательное “русский” (-ая, -ое, -ие) само является русским, а прилагательное “голубой” (-ая, -ое, -ые) само, конечно, голубым не является. Прилагательные первого вида описывают самих себя, т.е. применимы к себе. Такие прилагательные назовем “автологичными”. Прилагательные второго вида не применимы к себе, их мы назовем “гетерологическими”. Введем теперь обозначения: прилагательные обозначим буквами р, g, …, а выражаемые ими свойства обозначим, соответственно, буквами Р, G, … .

Предложение “Прилагательное р применимо к себе “символически запишется в форме Р(р), а предложение “Прилагательное р не применимо к себе” запишется в форме ¬Р(р).Если относительно некоторого прилагательного р установлено ¬Р(p), то по принятому определению, прилагательное р будет гетерологическим. Обозначив свойство “быть гетерологическим” через G получим:

“ p(G(p)« (P(p)) (*)

Заметим теперь, что слово “гетерологический” само тоже является прилагательным. Обозначим это прилагательное буквой g. Тогда при р=g из условия (*) получим противоречие: (g)«¬G(g).

Это противоречие снимается, если учесть, что первоначально мы имели только прилагательные некоторого предметного языка, которые классифицировались на автологические и гетерологические; прилагательное же “гетерологический” появилось только при описании этой классификации и, значит, относится к метаязыку. Поэтому в условии (*) квантор общности имел смысл “для всех прилагательных предметного языка” и подстановка р=g была неправомерной.

Парадокс Берри

Еще один внешне простой парадокс был указан в самом начале нашего века Д. Берри, занимавшем должность библиотекаря Оксфордского университета. Позже он был опубликован Бертраном Расселом. В русской интерпретации он звучит так:
Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются в русском языке и содержат меньше, чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение “наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся из менее чем ста слов” является как раз именем этого числа! Это имя сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени!

Этот парадокс исчезает, если различать предметный язык и метаязык. В самом деле, в рассматриваемой фразе речь идет о различных описаниях названного числа, сделанных на некотором предметном языке, следовательно, в этой фразе утверждается, что эти описания должны содержать не менее 100 букв предметного языка; сама же эта фраза относится к метаязыку и поэтому может содержать и меньшее количество букв.

Рассмотренные парадоксы говорят о необходимости четкого различения предметного языка и метаязыка, что, однако, не всегда возможно. Дело в том, что естественный язык является семантически замкнутым языком: он одновременно является и предметным языком, и метаязыком по отношению к самому себе. Именно поэтому в естественном языке и возникают те семантические парадоксы, о которых говорилось выше.

Эти парадоксы можно объяснить, но исключить их появление в естественном языке мы не в состоянии.

Выход заключается в создании искусственных символических и иерархических языков и большой осторожности в сомнительных случаях. В предметном языке и в метаязыке мы должны пользоваться разной символикой. Следует еще отметить, что рассмотренные семантические парадоксы мы объясняли необходимостью различения языка и метаязыка, но существует и большое число других объяснений. К сожалению, однако, ни одно из них не стало общепризнанным и поэтому проблему объяснения парадоксов нельзя считать окончательно решенной. Наличие в познании различных иерархических уровней можно проиллюстрировать и на целом ряде других примеров.

Абстракции и иерархические языки, парадоксы со множествами В результате абстракции, например, неизбежно возникают понятия, относящиеся к более высокому иерархическому уровню, чем исходные. Таковым является, в частности, и понятие множества, являющееся ключевым в современной математике. Чтобы в этом убедиться, представим себе, что мы наблюдаем стадо, состоящее из пяти коров. Когда мы говорим о стаде, мы имеем в виду множество этих коров; и мы представляем его себе именно как отдельный самостоятельный предмет. Таким образом, получается шесть предметов: пять коров и стадо, состоящее из них. Но если нас спросят: “Сколько предметов вы видите ?”— мы ответим: “Пять!”. Шестой предмет увидеть нельзя! Множество — это предмет, созданный нашей мыслью. Мы мысленно объединяем эти коровы и представляем себе результат объединения как нечто целое, самостоятельное. Даже в учебниках по Математическому анализу с первых строк пишется: “Будем понимать под множеством интуитивное и неопределяемое понятие.”

Георг Кантор (1843-1918), создатель теории множеств, назвал этот мысленный акт “свертыванием” [4]. В результате возникает абстрактный, воображаемый предмет. От уровня реально существующих предметов мы поднимаемся на более высокий иерархический уровень познания и попадаем в мир абстрактных понятий. Продолжая процесс восхождения ко все более и более абстрактным понятиям, мы одновременно будем переходить и на новые, более высокие иерархические уровни познания. Это весьма наглядно можно показать следующим образом.

Пусть нам дано некоторое множество людей, живущих в одном и том же доме, причем каждый жилец живет в отдельной квартире. Значит, роль множества выполняет дом, а элементами множества являются жильцы, живущие в отдельных квартирах этого дома. Построим теперь множество всех подмножеств данного множества. Подмножествами очевидно будут различные дома, в которых будут жить соответствующие подмножества жильцов первоначального дома. Но так как каждый элемент исходного множества является в то же время и элементом целого ряда подмножеств, то каждый житель первоначального дома должен жить одновременно и в целом ряде домов — подмножеств. Это означает, что один и тот же житель будет иметь квартиры в целом ряде домов. Какими будут эти дома?

Так как одним из подмножеств является пустое множество, то должен существовать пустой дом, в котором никто не живет. Это может быть, например, здание клуба или театра, или Церковь. Одноэлементным подмножествам будут соответствовать одноквартирные дома, двухэлементным — двухквартирные и т.д.

Допустим, что построение домов-подмножеств закончено. Что же получилось? Совокупность домов, возникшая в результате нашего построения, домом не является. Построен город, состоящий из домов. Если сначала мы имели дело с множествами жильцов и называли эти множества домами, то теперь возникло множество нового вида — множество домов и это новое множество мы, естественно, называем по-другому: это город. Можно теперь идти дальше и рассматривать множество всех подмножеств этого города. То, что мы получим не будет городом, это будет нечто более общее. Мы можем, например, назвать эту совокупность городов “страной”. Приведенный пример показывает, что при восхождении к абстракциям более высокого уровня, мы неизбежно переходим и на более высокий иерархический уровень. Игнорирование этого обстоятельства может привести к возникновению противоречий и парадоксов. Покажем это на конкретном примере.

Рассмотрим множество всех одноэлементных множеств к обозначим его через U. Построим теперь множество E, единственным элементом которого является U. Значит, E={U}.

Из этого определения следует: U есть элемент E. Но, поскольку E является одноэлементным множеством, а U — это множество всех одноэлементных множеств, E есть элемент U.

Таким образом, оказалось, что множество U, являясь совокупностью одноэлементных множеств, в то же время содержится в качестве элемента в одном из своих подмножеств. Но этого ведь быть не может, так как E и U различны .

Причина противоречия кроется опять в игнорировании иерархических различий. Множество U было множеством всех одноэлементных множеств некоторого исходного иерархического уровня, а множество E было сформировано позже; оно относится уже к другому, более высокому иерархическому уровню. Поэтому утверждение E элемент из U было неправомерным, так как на исходном иерархическом уровне множества Е не было.

Этот парадокс можно объяснить и неопределенностью смысла слова “все”. Что значит “все”? Если слово “все” относится к элементам вполне определенного множества, то смысл этого термина достаточно ясен. А если множество задано недостаточно четко, если его границы расплывчаты, если допускается возможность обнаружения новых элементов, о существовании которых заранее ничего не известно, что тогда означает “все”? Очевидно, должен быть уточнен смысл термина все , а это как раз и происходит, когда учитывается принадлежность предметов к тому или иному иерархическому уровню.

Следующий парадокс, свидетельствующий о необходимости учета иерархических различий, — это знаменитый парадокс Кантора, заключающийся в том, что универсальное, всеобъемлющее “множество всех множеств” никакой мощностью обладать не может.

Как возникает этот парадокс?

Кантор исходил из того, что каждое множество А должно обладать некоторой “мощностью”. Под “мощностью” он понимал количественную характеристику множества.

Мощность множества А Кантор обозначил через , отмечая двумя черточками, что она получается в результате двойной абстракции: абстракции от природы элементов и абстракции от их порядка. Множество всех подмножеств данного множества А (называемое также булеаном множества А) обозначено через Р(А). Кантор доказал, что .

Рассмотрим теперь множество всех множеств, назовем его “универсумом” и обозначим через U. Из приведенной выше теоремы при А=U получим, что .

С другой стороны, поскольку U — это множество всех множеств, то оно должно обладать максимальной мощностью, и, значит, . Получилось противоречие.

В кажущейся неразрешимости этого противоречия и заключается парадокс Кантора. На самом деле этот парадокс все же разрешим. Дело в том, что мы неявным образом предположили, что универсум U является таким же множеством, как и все остальные множества, и поэтому тоже обладает некоторой мощностью.

Противоречие же показывает, что оно никакой мощностью обладать не может. Значит, универсум U множеством не является. U — это объект, который относится к другому иерархическому уровню.

Парадоксы как петли

Выше было показано, что игнорирование иерархических различий приводит к противоречиям и парадоксам. Проводимые при этом рассуждения имеют иногда вид странных петель: исходя из некоторого утверждения, относящегося к определенному иерархическому уровню, мы по ходу рассуждения попадаем на другой иерархический уровень и уже на этом новом уровне каким-то странным образом приходим к первоначальному утверждению.

Петля рассуждения замыкается невозможным образом: на новом уровне мы обнаруживаем то утверждение, которое на самом деле относится к первоначальному иерархическому уровню. Так получилось и с парадоксом лжеца.

Приведем еще несколько примеров странных петель.

Парадокс Рассела (О парикмахере)

Рассмотрим парадокс парикмахера, найденный Бертраном Расселом (1872-1970). Допустим, что в некотором поселке нет бородатых людей и все мужчины бреются либо сами, либо у местного парикмахера. Допустим также, что в этом поселке принято правило, согласно которому парикмахер бреет тех и только тех, кто не бреется сам. Спрашивается: бреет ли парикмахер самого себя? Оказывается, что ни “да”, ни “нет” ответить нельзя. Если парикмахер бреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, согласно принятому правилу, он не должен брить. Значит, он не должен себя брить. Если же парикмахер не будет брить самого себя, то он относится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Значит, он должен бриться сам.

Получается странная, невозможная петля: если парикмахер бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение. Получается странная, бесконечная заколдованная петля, из которой нет выхода. Объяснение же парадокса состоит в том, что при формулировке правила, которым должен руководствоваться парикмахер, не были учтены иерархические различия. Правило должно относится ко всем жителям поселка, кроме парикмахера, так как парикмахер в данном случае относится к другой иерархической категории.

Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться парикмахер, то парадокс говорит только о том, что такого парикмахера быть не может.

Парадокс Маннури (О мэре)

Похожим на предыдущий парадокс является парадокс “О мэре” голландского математика Геррита Маннури (1867-1956). В этом парадоксе речь идет о стране, состоящей из отдельных областей. Каждая из которых имеет мэра, который, однако, не обязательно должен жить в той же области, которой он управляет. На основании этой оговорки всех мэров можно разделить на две категории. К одной из них относятся те мэры, которые живут в той же области, которой они управляют, — их мы назовем “хорошими”; к другой относятся все те, которые не живут в той области, которой они управляют, — этих мы назовем “плохими”.

Известно также, что президент страны выделил для плохих мэров отдельную область и издал приказ, обязывающий всех плохих мэров переселиться именно в эту новую область. Кроме того в приказе было сказано, что в новой области никто кроме плохих мэров проживать не может. Очевидно, новая область должна была иметь и своего мэра. В связи с этим спрашивается: каким будет этот мэр — хорошим или плохим?

Если он хороший, то он должен жить в той области, которой он управляет, но там он жить не может, так как эта область создана только для плохих мэров, а он, по предположению, хороший.

Если же он плохой, то с одной стороны из определения понятия “плохой” следует, что он не должен жить в той области, которой он управляет, а с другой стороны он должен жить именно в этой области, так как она специально создана для плохих мэров.

Таким образом, возникает та же самая неразрешимая ситуация: мэр особой области не может быть ни хорошим, ни плохим; и не может жить ни в самой этой области, ни вне ее. В чем же дело?

Причина парадокса в том, что иерархические уровни опять оказались спутанными. В данном случае все жители рассматриваемого государства распадаются на три категории: обыкновенные граждане, мэры обычных областей, и мэр той особой области, в которой живут все плохие мэры.

Мэр особой области существенно отличается от остальных мэров: обычные мэры управляют гражданами, а мэр особой области управляет мэрами — это новый, более высокий иерархический уровень. Свойства “быть плохим мэром” и “быть хорошим мэром” пригодны только для характеристики обычных мэров, а мэр особой области относится к другой категории, — его характеризуют другие свойства, и поэтому бессмысленно спрашивать, хороший он, или плохой. Выявленное противоречие как раз и показывает, что он не может быть ни тем, ни другим.

Принципиальное различие в свойствах элементов различных иерархических уровней на практике обычно сразу же бросается в глаза. Например, все яблоки, лежащие на столе, могут быть желтыми — это их общее свойство. Но множество этих яблок желтым быть не может, так как множество яблок — это абстрактный, идеальный предмет, относящийся к совершенно другому иерархическому уровню.

Элементы определенного иерархического уровня либо обладают некоторым, естественным для них свойством, либо нет. Ничего другого быть не может. Третьего не дано! Поэтому, когда обнаруживается элемент, который не может обладать; этим свойством и в то же время не может не обладать им, а третьего не дано, то это противоречие кажется неразрешимым. Но это только кажущееся противоречие. Третье все же дано! Рассматриваемый элемент на самом деле относится к другой категории и обладает другими свойствами.

Свойства элементов различных иерархических уровней совершенно различны— они не сводимы друг к другу. Свойства элементов более высокого уровня нельзя определить, нельзя объяснить, нельзя свести к свойствам элементов какого-либо другого уровня. Таким образом, можно сказать, что рассмотренные парадоксы возникают вследствие игнорирования иерархических различий.

Следует заметить, что в каждом из рассмотренных парадоксов имеется неосознанное и к тому же неправомерное предположение. Именно оно и приводит к противоречию. Поэтому парадокс на самом деле следует рассматривать как доказательство ошибочности принятого предположения. Здесь, по существу, имеет место доказательство “от противного”.

Следует отметить, что в основном все эти парадоксы семантический характер. Язык играет существенную роль. Возникновение странных петель и обнаружение иерархических различий так или иначе всегда связано с языком.

Но кроме естественного языка, используемого при речевом общении, существуют и другие языки: язык изобразительного искусства и язык музыки. В этих языках тоже есть различные иерархические уровни. Поэтому и здесь спутанность иерархий по необходимости приводит к возможности образования странных, парадоксальных петель. Но сконструировать такую петлю — дело не легкое, оно требует большой изобретательности и большого мастерства.

Можно привести примеры некоторых графических парадоксов. Возможно такие же парадоксы встречаются и в музыке, которые вероятно связаны с переходами в тональности.

Плоские и пространственные предметы, очевидно, относятся к различным иерархическим уровням, но необходимость плоского изображения объектов трехмерного пространства приводит к смешению восприятий двумерного и трехмерного пространств. Талантливое же использование этого смешения может привести к парадоксальным картинам — к удивительным петлям. Именно такие картины и создал знаменитый художник — график Мориц Корнелиус Эшер (1898-1971).

На этих картинах мы видим изображение нереальных, невозможных конструкций, которые тем не менее весьма похожи на реальные. Секрет в том, что эти конструкции — эти так называемые “невозможные фигуры” — составлены из отдельных вполне реальных частей. Нереально только соединение этих частей в одно целое. С этими “невозможными фигурами” можно познакомиться на сайте, посвященном М.К. Эшеру. Здесь же приводятся авторитетные заключения о его произведениях.

Следует отметить, что конструированием невозможных фигур занимались и другие люди: шведский художник Оскар Рутерсвард (р. 1917) известен своими “бесконечными лестницами”, профессор математики Оксфордского университета Роджер Пенроуз известен своим “трехбалочником” — пространственным треугольником с тремя прямыми углами.

Из работ же М.К. Эшера хотелось бы отметить две его литографии. Одна из его литографий называется “Восхождение и спуск”. На этой литографии изображен монастырь, на крыше которого находится круговая галерея, представляющая собою бесконечную лестницу. Видно, как монахи совершают ежедневный бессмысленный ритуал— нескончаемую прогулку по бесконечной лестнице-галерее. При этом, те, кто идет по невозможной лестнице по внешнему ряду, все время взбираются вверх, а те, кто шествует по внутреннему ряду, столь же неуклонно спускаются вниз. И те и другие — поднимаясь или опускаясь — к концу каждого кругового обхода удивительным образом оказываются в исходной точке. Возникает странная, невозможная петля.

Такую же странную петлю можно наблюдать и на другой литографии Эшера, которая называется “Водопад”. На этой литографии изображен канал, по которому течет вода. Этот канал имеет форму пятизвенной ломанной линии и изображен таким образом, что создается впечатление, что уровень воды в канале все время остается одним и тем же. Тем не менее, мы с удивлением замечаем, что в конце канала уровень воды оказывается гораздо выше, чем в начале. Поэтому шестое звено странной петли — это водопад, замыкающий петлю.

Парадоксы и развитие математики

Здесь приведено большое количество парадоксов, связанных с теорией множеств, и это не удивительно, так как с ними связаны недавние события в истории математики. Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 году и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов [5]. Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первым из таких парадоксов. Это произошло в 1895 г. Кантор не был способен в то время предложить разрешение этого парадокса, ситуация не казалась слишком серьезной: этот первый парадокс возникал в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.

Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар. В 1902г. Бертран Рассел поразил философов и математиков, указав на парадокс, относящийся к самым началам теории множеств и показывавший, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно. Но парадокс Рассела потряс основы не только теории множеств: в опасности оказалась и сама логика. Требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести парадокс Рассела в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий. Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых “точных” наук — логики и математики.

Парадокс Рассела явился истинным потрясением для тех немногих мыслителей, которые занимались проблемами обоснованияна рубеже прошлого и нынешнего столетий. Дедекинд в своих глубоких исследованиях о природе и назначении чисел положил в основу арифметики отношение принадлежности — его метод “цепей” может даже быть взят за основу в теории вполне упорядоченных множеств — и использовал понятие множества в его полном канторовском смысле для доказательства существования бесконечных множеств. Вследствие удара, нанесенного ему парадоксом Рассела, Дедекинд на некоторое время приостановил публикацию своих исследований, основу которых он счел расшатанной [5]. Еще более трагичной была судьба Фреге [6]. Он считал, что основным вопросом, на который нужно ответить при обосновании арифметики, является вопрос о том, благодаря чему мы имеем право считать числа определенными, конкретными предметами. Ведь “численность” множества — это свойство, а не предмет, и тем не менее мы оцениваем численность с помощью натурального числа, воспринимаемого нами именно как предмет. Происходит опредмечивание: свойство превращается в предмет. Значит, заключает Фреге, без оператора опредмечивания не обойтись. И Фреге формулирует “Основной закон”: “Каждой функцииf соответствует ее график Гf“. Таким образом, в предметную область кроме исходных, первоначальных предметов, обозначаемых “Истина” (И) и “Ложь” (Л), попадают и новые предметы — графики функций. Фреге хотел сконструировать универсальную предметную область, в которой все предметы были бы абсолютно “равноправны”. Но именно это и привело к смешению иерархий. Ведь предметы из некоторого множества и функции, определенные на этом множестве, — это разные вещи, относящиеся к совершенно разным иерархическим уровням. В предисловии к своей фундаментальной работе “Основные Законы арифметики” написал следующее: “Насколько я вижу, спорным может оказаться только Основной закон… Во всяком случае, я указываю на это место, как на место, от которого зависит окончательное решение”. В первой же фразе послесловия Фреге отмечает, что фундамент его здания поколеблен Расселом.

Нет ничего удивительного в том, что многие математики, только-только начавшие воспринимать теорию множеств как полноправного члена сообщества математических наук, изменили свою позицию. Типичный пример этой перемены — Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, до этого сам содействовавший пропаганде и распространению идей теории множеств. В течение ряда лет после 1902 г. его отношение к мерам, предлагавшимся Расселом для реабилитации теории множеств, было неизменно насмешливым [7]. Надо сказать, что сам Кантор ни на минуту не терял веры в свою теорию в ее полном “наивном” объеме, хотя и оказался не в состоянии ответить на вызов, брошенный ему парадоксом Рассела. Другие ученые заявляли, что нечего особенно волноваться по поводу этого и других